谈谈利用竖式手工开平方

前段时间,在知乎上看到有人将「手工开平方」列为失传的技艺。本宝宝表示不服,今天来讲讲竖式开平方的原理和操作方法。

原理

简便起见,我们假设有

$$\bigl(\alpha\beta_{(10)}\bigr)^2 = abcd_{(10)}.$$

其中 $\alpha\beta_{(10)}$ 表示它是一个十进制数;而 $\alpha\beta$ 则表示 $\alpha\cdot\beta$。我们将 $\alpha\beta_{(10)}$ 按进制位拆开:

$$\alpha\beta_{(10)} = \alpha * 10^1 + \beta * 10^0$$

那么有:

$$abcd_{(10)} = \alpha^2 * 10^{2 * 1} + 2\alpha\beta* 10^{1 + 0} + \beta^2* 10^{2 * 0}$$

从这个分析中,我们可以看出来个简单的规律:

  1. 平方数 $abcd_{(10)}$ 的高位 $ab_{(10)} * 10 ^{2}$,可以完全地决定它平方根的高位 $\alpha * 10^{1}$
  2. 平方根的低位 $\beta * 10^{0}$ 由平方数的高位和低位共同决定。
  3. 我们会用到「和平方公式」:

\begin{equation} \label{sum-square} (\alpha + \beta) ^ {2} = \alpha ^ {2} + 2\alpha\beta + \beta ^ {2} \end{equation}

所以,手工开平方的原理,可以简单概括为:从低位开始往高位,两位两位地分割;再从高位往低位,利用和平方公式,逐位地确定平方根。


举个栗子,假设我们要求 $144$ 的平方根(虽然我们都知道是 $12$)。

首先,我们从低位往高位,两位两位地分割,得到 $1$, $44$。注意,这里的 $1$ 指的是 $1 * 10^2$。由于平方数的高位,完全决定平方根的高位。又有:

$$ \begin{cases} 1^2 = 1,\\ 2^2 = 4 > 1. \end{cases} $$

所以,我们确定平方根的高位是 $1$。这也就是说,在公式 \ref{sum-square} 中,我们已经确定 $\alpha = 1 * 10^1 = 10$。现在要求解,满足下式的最大的整数 $\beta$。

$$2 * \alpha * \beta + \beta ^ {2} \leqslant 44 = 144 - 10^2,$$

这也就是

\begin{equation} \label{getting-b} (2 * \alpha + \beta) * \beta \leqslant 44. \end{equation}

显然,$\beta = 2$ 时,式 \ref{getting-b} 的等号成立。这说明,$144 = (10 + 2)^2 = 12^2$。

操作方法

通过上面的原理分析和举例说明,我们不难得到一个 step-by-step 的操作方法。详述如下:

  1. 对平方数,从小数点开始,两位两位地向两端划分(向整数部分的高位和小数部分的低位);
  2. 对最高位的分割,假设为 $ab_{(10)}$,求最大的整数 $\alpha$,满足 $\alpha^2 \leqslant ab_{(10)}$
  3. 求余数 $\overline{cd}_{(10)} = abcd_{(10)} - \alpha^2 * 10^2$
  4. 求最大的整数 $\beta$,满足 $(2 * \alpha + \beta) * \beta \leqslant \overline{cd}_{(10)}$
  5. 类似地方法,依次往低位运算,直到求得平方根,或达成目标精度为止。

下面我们通过一个例子,用竖式的方式,遵照上面的步骤,手工开平方根。

对 63578 开平方

首先,考察高位 $6$。我们有 $2^2 \leqslant 6$ 但 $(2 + 1)^2 > 6$。所以平方根首位是 $2$。

接下来,求余数,得 $235$,这就是上述步骤中的 $\overline{cd}_{(10)}$。$2$ 翻倍为 $4$,我们要找满足 $4\beta_{(10)} * \beta \leqslant 235$ 的最大的 $\beta$。求得结果是 $\beta = 5$。

重复地,求余数,得 $1078$。$25$ 翻倍为 $50$,我们要找满足 $50\beta_{(10)} * \beta \leqslant 1078$ 的最大的 $\beta$。求得结果是 $\beta = 2$。

重复地,求余数,得 $7400$。$252$ 翻倍为 $504$,我们要找满足 $504\beta_{(10)} * \beta \leqslant 7400$ 的最大的 $\beta$。求得结果是 $\beta = 1$。

重复地,求余数,得 $235900$。$2521$ 翻倍为 $5042$,我们要找满足 $5042\beta_{(10)} * \beta \leqslant 235900$ 的最大的 $\beta$。求得结果是 $\beta = 4$。

……

如此重复,可以求得更高的精度。不过,作为演示,这个例子就到此为止了。我们得到结果 $\sqrt{63578} = 252.14\cdots$。

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