地球潮汐对地月系统的影响是怎样的

在知乎上看到这样一个问题月球引起潮汐会使月亮能量减少吗? 月亮会发生什么事?张工的回答引述部分有些问题,所以手痒就做了个回答。这里也保存在博客。

潮汐是怎样来的

在天体领域中,月球的质量以及其相对地球的位置的特点是:距离相对很近,质量相对较大。因为月球的引力能够对地球产生较大的影响,所以地月系统与其说是行星-卫星系统,不如说是一个双行星系统。也就是说,地球和月球围绕地月系统的质心相互旋转,这一描述会更加贴合实际情况。不过,因为地球的质量是月球的大约 81 倍,所以地月系统中地球相对系统质心的旋转不太明显,因此更多的时候,人们将月球当做地球的卫星,围绕地球公转。这篇文章里,只在有必要的时候使用「双行星系统」的描述,更多的时候为求简便,仍使用「卫星系统」的描述。

除了对地球本身的引力作用,月球还能吸引地球表面的物体。最显著的现象,就是吸引海水,形成潮汐。因为月球的引力作用,地球表面的海水,会在地心-月心连线方向上(近似)形成两个凸起。靠近月球方向的凸起,主要是由月球的引力造成的;远离月球方向的凸起,则是地球绕系统质心旋转产生的离心现象(可以想作是离心力将背对月球地方的海水甩出去了)。考虑到地球自转的角速度与月球公转的角速度不同,而「凸起」(基本上)是锁定月球的方向,于是「凸起」会相对地表不断移动。这个相对运动,在地球上生活的人看来,就是涨潮和落潮。

地月相互作用

因为地球自转的角速度大于月球公转的角速度,因此地球自转会「推着凸起」向前运动。这就导致了「凸起」并不完全锁定月球的方向,而是在地球自转的方向上相对月球位置提前。(见示意图,来自 Wikipedia)

示意图来自 Wikipedia

向着月球方向的凸起,这部分海水的质量「拽着」月球往前走;相反,背对着月球方向的凸起,这部分海水的质量「拖住」月球走慢点。考虑到引力的大小和距离的平方呈反比,这两个作用力大小并不相等。因此,地月之间存在着相互的净力矩。

从能量的角度考虑

  • 这个力矩作用在凸起的海水上,使得海水的周期运动比地球自转慢。二者摩擦之间,就使得地球自转逐渐变慢。
  • 这个力矩作用在公转的月球上,使得对月球做功,使得月球的能量增加。考虑到这个能量的增加过程十分缓慢,于是任意时刻我们仍然可以认为月球绕着地球作稳定的(椭)圆轨道的周期运动。因此,在保持公转轨道形状稳定的前提下,月球的公转线速度会下降,但公转轨道会抬升。也就是说,月球的公转动能会下降,但地月引力势能会增加——并且大于月球公转动能下降的数量。

从角动量的角度考虑

若假设地月系统不受外力作用,则地月系统的角动量守恒。

  • 这个力矩作用在凸起的海水上,使得海水的周期运动比地球自转慢。二者摩擦之间,就使得地球自转逐渐变慢,地球自转角动量下降。
  • 考虑到角动量守恒,则必然月球公转的角动量上升。同样,为了保持月球公转轨道的稳定,这种上升,是通过降低角速度的同时相对更多地提升转动惯量来实现的。也就是说,月球公转轨道会抬升。

因为潮汐作用导致卫星公转能量升高/公转角动量升高的现象,被称为潮汐加速。

实际的数据

因为地球自转角速度大于月球公转角速度,「凸起」到地心的连线与地月连线之间的角度大约是 3°。

从能量上来说,地球自转动能的损失,大约有 29/30 消耗在摩擦生热中;而只有大约 1/30 的能量被转移给月球。

因为潮汐作用,地球每天延长越 23 微秒,月球轨道(平均)每年抬高 38 毫米。

最终结果

能量

  • 月球公转线速度降低,因此月球公转动能减少;
  • 月球轨道抬升,因此地月系统引力势能升高;
  • 相对地球,月球的动能减少,但势能升高,总体表现月球的机械能升高;
  • 地球的自转速度降低,因此地球的自转动能减少;
  • 地球自转动能减少的量与月球机械能升高的量的差值,大部分以热能的形式释放(损耗)了;
  • 包括释放的热能,地月系统机械能守恒。

角动量和角速度

  • 月球公转角速度降低;
  • 月球轨道抬升,因此月球的转动惯量升高;
  • 月球的公转角动量升高;
  • 地球的自转角动量降低;
  • 地月系统角动量守恒。

地月系统会怎样

  • 月球相对地球越来越远,平均每年远离地球 38 毫米;
  • 地球的自转越来越慢,直到地球自转角速度与双星系统公转角速度相同,地月互相潮汐锁定——当然,这件事情到太阳变成红巨星的阶段都还没完成。

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