乐理漫谈:音高、音程、泛音

我打小就与音乐结缘,先后学习过声乐和钢琴,接触过的乐器就更多。作为人类智慧的结晶(EVA 渚薰语),音乐总是与高贵、优雅、美丽这些美好的形容词挂钩。另一方面,物理和数学又代表着人类心智的荣耀。作为写作的缘和由,这无疑是很强大的了。因此,这一系列将介绍音乐中的物理和数学知识。

这是系列文章的第一篇,讲讲和声音相关最基本的一些知识。

声音

在物理学和生理学中,声音的是在传播介质(气体、液体、固体)中以音波的形式存在和传播的振动,其在人的听觉感受系统上产生的压力为人的听觉感受系统接收,而后在大脑中产生感觉的现象。

由于声音的本质是振动,因此声音天然具有两个要素:频率和响度。此处的频率即是振动的频率,其单位是赫兹(Hz)。响度则取决于振动的幅度,其单位为分贝(dB):振动幅度越大,响度越高;反之,响度越低。

声音的响度取决于振动的幅度。具体到音乐中,即是吹奏时吐气的力量大小、拉弓时运弓的急缓、弹奏时敲击的力量大小。响度是很直观的,不需要做过多的讨论。因此之后的内容都主要讨论声音的频率。

音高与音程

音高

音高(pitch)是人类对声音频率的感受。相对而言,低沉的声音音高低,而尖锐的声音音高高。

人对音高的感受基本由声音本身的基频(见「泛音」一节)决定,同时受人类生理结构和心理因素制约和影响。这也就是说,对于相同频率的声音,不论由何种发声器激发,人都会认为它们的音高相同。但反过来,对于频率不同却相近的声音,人们可能认为具有同样的音高。

尽管如此,在绝大多数情况下,频率可视作是音高的唯一决定因素。

音高科学记号法

音高科学记号法(scientific pitch notation)结合了音符名(CD–AB)与八度序号的音高记号法。在该记号法中,每个八度的升降发生在 $B_{i - 1}$$C_i$ 之间。大多数人熟知的中央 C,在音高科学记号法中记为 $C_4$;或在纯文本中记为 C4。

标准音高

中央 C 之上的 A 音符,即 $A_4$,通常被认为是标准音。在诸如视唱练耳的训练、测试中,它通常会被首先给出。标准音的音高随历史变迁而变化,目前公认的标准音高为 440Hz。

音程

音程(pitch interval)是人类感受到两个音音高之间的差距。在人类听力的中频段,人类对不同音高音符之间音程的感知大致是对数的;在高频段则不太符合对数规则。人类听力的这一特性是由人的听觉系统的生理结构决定的。

这也就是说,频率分别为 200Hz/400Hz/800Hz 的三个音,其中两段音程大致是相等的;而频率分别为 200Hz/400Hz/600Hz 的三个音,人类听起这两段音程则不相等。

对于频率相差一倍的两个音,例如 440Hz/880Hz,其间的音程定为八度(见后文「音级」一节)。

音分

音分(cent)是一个用于度量音程的对数标度单位。按照定义,一个八度音程的频率比为 2:1,其间均匀地包含 1200 个音分。因此,相邻两个音分之间的频率倍数应当为 $2^{1/1200}$。

音程为 1 音分两个音符,人耳是很难分辨的。按照 I. Peretz 和 K.L. Hyde的说法,普通成人可以清晰分辨的最短音程差至少是 25 音分。而患有乐感丧失症的成人(一般意义上的五音不全者即属此类),不能分辨小于 100 音分的音程差。

半音和全音

半音(semitone)也是一个用于度量音程的对数标度单位。半音的音程大小,根据不同的音律(见后续文章)而不同。在十二平均律中,一个半音的音程等于 100 音分。两个半音组成一个全音。

在钢琴上,相邻两个琴键之间的音程是一个半音,而间隔一个琴键之间的音程是一个全音。

十二平均律中不同音高的频率,单位为赫兹。括号内为距离中央 C(261.63 赫兹)的半音距离。
八度→
音名↓
0123456
C16.352(−48)32.703(−36)65.406(−24)130.81(−12)261.63(0)523.25(+12)1046.5(+24)
C♯/D♭17.324(−47)34.648(−35)69.296(−23)138.59(−11)277.18(+1)554.37(+13)1108.7(+25)
D18.354(−46)36.708(−34)73.416(−22)146.83(−10)293.66(+2)587.33(+14)1174.7(+26)
D♯/E♭19.445(−45)38.891(−33)77.782(−21)155.56(−9)311.13(+3)622.25(+15)1244.5(+27)
E20.602(−44)41.203(−32)82.407(−20)164.81(−8)329.63(+4)659.26(+16)1318.5(+28)
F21.827(−43)43.654(−31)87.307(−19)174.61(−7)349.23(+5)698.46(+17)1396.9(+29)
F♯/G♭23.125(−42)46.249(−30)92.499(−18)185.00(−6)369.99(+6)739.99(+18)1480.0(+30)
G24.500(−41)48.999(−29)97.999(−17)196.00(−5)392.00(+7)783.99(+19)1568.0(+31)
G♯/A♭25.957(−40)51.913(−28)103.83(−16)207.65(−4)415.30(+8)830.61(+20)1661.2(+32)
A27.500(−39)55.000(−27)110.00(−15)220.00(−3)440.00(+9)880.00(+21)1760.0(+33)
A♯/B♭29.135(−38)58.270(−26)116.54(−14)233.08(−2)466.16(+10)932.33(+22)1864.7(+34)
B30.868(−37)61.735(−25)123.47(−13)246.94(−1)493.88(+11)987.77(+23)1975.5(+35)

音级

音级指的是两个音之间包括多少基本音,是讨论音程时用来表达两个音音高之间距离的手段。所谓基本音,即使 C, D, E, F, G, A, B 七个音;这七个音符合现代钢琴上白键发出的声音。因此,在五线谱中,每条线、每个间都是一个音级;通常以「度」来表达音级。

举例来说,当两个音处于同一条线或同一个间上时,称为一度;当两个音处于相邻的线和间上时,称为二度。其余度数又可以此类推。

音程命名

按照音程之间半音数与度数的不同,乐理上为不同的音程命名。首先来看相对完整的命名表格。

半音数一度举例二度举例三度举例四度举例五度举例六度举例七度举例八度举例
0C-CE-F♭
1C-C♯E-F倍减Dx-F
2倍增D♭-D♯C-DD♯-F
3C-D♯D-F倍减D♯-G♭
4倍增G♭-A♯C-ED♯-G
5F-A♯C-F倍减C♯-G♭
6倍增F-AxF-BB-F倍减C♯-A♭♭
7倍增F-B♯C-GC♯-A♭
8C-G♯E-C倍减Dx-C
9倍增D♭-A♯C-AD♯-C
10C-A♯D-C倍减G♯-G’♭
11倍增C-AxC-BG-G’♭
12C-B♯C-C’
13倍增C-BxC-C’♯
14倍增C-C’x

为便于理解,这里给出相关解释。首先是钢琴上白键之间能看到的音程:

  • 纯一度:0 个半音组成的一度音程;
  • 小二度:1 个半音组成的二度音程;
  • 大二度:2 个半音组成的二度音程,由两个小二度构成;
  • 大三度:4 个半音组成的三度音程,由两个大二度构成;
  • 纯四度:5 个半音组成的四度音程,由一个大三度和一个小二度构成;
  • 纯五度:7 个半音组成的五度音程,由一个纯四度和一个大二度构成;
  • 大六度:9 个半音组成的六度音程,由一个纯五度和一个大二度构成;
  • 大七度:11 个半音组成的七度音程,由一个大六度和一个大二度构成;
  • 纯八度:12 个半音组成的八度音程,由一个大七度和一个小二度构成。

而后是音程之间的变化:

  • 同度大音程与小音程之间总是差一个半音;
  • 增音程:大音程和纯音程增加半音时,叫增音程;
  • 减音程:小音程和纯音程减少半音时,叫减音程;
  • 倍增音程:增音程再增加半音时,叫倍增音程;
  • 倍减音程:减音程再减少半音时,叫倍减音程。

其中,除了增四度和减五度之外,所有的增音程、减音程、倍增音程和倍减音程通称变化音程。

按照不同音程给人的不同感受,乐理上将音程分为

  • 极完全协和音程(极纯音程):纯一度、纯八度;
  • 完全协和音程(纯音程):纯四度、纯五度;
  • 不完全协和音程:大三度、小三度、大六度、小六度;
  • 不协和音程:大二度、小二度、大七度、小七度;
  • 极不协和音程:增四度、减五度以及所有变化音程。

按照通常的理解,音程越和谐,奏出的声音给人的感觉就越松弛、安静;反过来,音程越不和谐,奏出的声音给人的感觉就越紧张、动态。

泛音

驻波

驻波(standing wave 或 stationary wave)是高中物理中的概念。两个波长、频率(周期)和波速都相同的波相向而行互相干涉,则形成驻波。驻波中,每一个质点都做简谐振动,但各点的振幅不同。振幅为零的点即是波节(Node)。

上图中,振动从弦的左端开始,以机械波的形式向右传递。在遇见右侧障碍物时,行波反射而回。此后两个行波叠加干涉,在弦上形成驻波。

驻波与泛音

以弦乐器为例,根据梅森法则(Mersenne’s laws),弦的基础振动频率 $f_0$

  • 与弦长 $L$ 成反比;
  • 与弦内张力 $F$ 的平方根成正比;
  • 与弦的单位长度质量 $\mu$ 的平方根成反比。

$$f_0 \propto \frac{\sqrt{F}}{L\sqrt{\mu}}.$$

考虑到上一小节中提到的驻波,在弦乐器中的弦上也会发生;于是驻波的各个波节对整个弦进行了分割。由于被分割的弦,长度显然要小于弦的总长,因此这部分驻波的频率会比弦的基础频率高。这样一来,弦乐器上弦的振动实际上是不同长度弦组成的复合振动。因此

  • 弦乐器振动发声时,混合了多个不同音高的音;
  • 频率对应总弦长的音响度最高,称为基音,也称第一泛音;
  • 频率对应由驻波波节划分的更短的弦的音,是一系列泛音,称作泛音列;
  • 泛音列中,按频率从低到高依次称为第二泛音、第三泛音……

小提琴的四弦频谱
上图是在 iPhone 上使用 SpectrumView 观察小提琴四根弦振动发声的频谱。它们的基音分别是:$G_3$/$D_4$/$A_4$/$E_5$。不难发现,$G_3$ 的第三泛音和 $D_4$ 的第二泛音频率几乎相等。这说明 $3f(G_3) \approx 2f(D_4)$,亦即 $G_3$$D_4$ 之间是纯五度音程。$D_4$/$A_4$/$E_5$ 三根弦之间也能观察到相同现象,说明也是纯五度音程。

管乐器的声音由管内空气柱的振动产生。在管内的空气柱中,也会形成驻波,因而也会形成泛音。

乐器泛音列上各个泛音的强度,与基音一起决定了乐器的音色。


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